“你認為最美的數學、物理方程是什么？”當代十位大數學家、物理學家給出了他們自己的回答。這些回答構成了大雅之美（The Concinitas Project）的十篇文章。我們為讀者帶來這些大師對自己眼中最美方程的精彩解讀。

1.指標定理

撰文 阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah）

翻譯 邵紅亮（重慶大學數學與統計學院）

校譯 林開亮

?數學既是一門藝術，也是一門科學，而美在其中扮演至關重要的角色，這是數學家眾所周知的事實。偉大的德國數學家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）是我心目中的英雄。他說：“我的工作總是試圖將真和美統一起來，如果我必須做出抉擇，我常常選擇美。”我覺得他講得非常好。

數學是最精準的科學，它致力于發現真理，外爾的話似乎有些荒誕，甚至帶有挑釁的感覺——似乎只是一句半開玩笑的話。但是我相信，外爾講這句話時是非常認真的。在外爾的話中有一個明顯的悖論，我們尋求的雖然是客觀真理，可是任何時候，真理都是不確定的，是暫時的。然而美是一種主觀體驗，“情人眼里出西施”，我們相信，美是指引我們找到真理的光亮。

何為數學之美？是否與藝術之美、音樂之美、詩歌之美類似？維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）表面上是一個嚴肅的分析學家，卻曾經說過：“如果沒有一顆詩人般的靈魂，就不可能成為完全的數學家。”

對門外漢而言，這樣的表達是難以理解的，然而我也曾經說過，著名的歐拉公式

極其簡潔且極具深度，無異于哈姆雷特的著名問題，“活下去還是不活……”

也許最可與數學比肩的一種藝術形式就是建筑了，其中有充滿精美細節的宏觀視野，實體基礎和功能效用都是其本質組成。

我選擇這樣一個方程來闡釋我自己的工作美妙之處，它宏偉壯觀，富有歷史，與數學的許多分支有多重聯系，包括：拓撲、幾何、分析。但是其表述之微妙，其簡潔性，使人們忽略了掩于其中的深度，只有真正領會的學者方能明白。

就像一座有三層塔的建筑，這個方程有三項，這三項各自屬于數學的不同部分，卻以一種驚人的方式聯系在一起。就像偉大的建筑一樣，它也有自己的特征，可以追根溯源至很久以前，展現了當今最先進的技術，同時又指向未來。

這個方程的前身與歷史上許多主流問題都有聯系：歐拉的柯尼斯堡七橋問題、黎曼素數計數以及高斯測地。這些故事充滿詩意，然而未來與歷史同樣重要。許多主流分支已經消失，只有少數綿延至今。

大約四十年前，我發現了這個方程，自那時起，人們就發現它在基礎物理中有的令人神魂顛倒的驚人應用，這一點外爾應該是理解的，并且會很欣賞。事實上，其中許多關鍵的想法，都可以追溯到外爾本人的工作。

就我個人而言，我的方程體現了我與諸多同事的深入合作，包括：波恩的赫茲布魯赫（Fritz Hirzebruch），哈佛的博特（Raoul Bott），MIT的辛格（Is Singer）和孟買的帕托迪（Vijay Patodi），像許多天才詩人一樣，帕托迪也英年早逝。美是一種人生體驗，最美不過與朋友共賞。

（邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah），英國數學家，菲爾茲獎和阿貝爾數學獎得主，曾任皇家學會主席，劍橋大學三一學院院長。他與伊薩多·辛格合作證明了著名的阿蒂亞-辛格指標定理。此定理在微分方程、復幾何、泛函分析以及理論物理學中均有深遠的應用，公認為20世紀最重要的數學成果之一。）

2.安培定律

撰文 唐納森（Simon Donaldson）

翻譯 來米加（上海交通大學數學科學學院）

校譯 林開亮

?我的很多研究工作涉及微分幾何中和數學物理相關的一些課題與四維空間拓撲的交叉。黑板上的內容，是想部分地通過與三維空間類比，來闡明其中的一些想法。

圖示的主題是電磁學的安培定律，這圖大概跟讀者在標準物理課本中所見的類似。左上用粗體白線表示電流J流過一個封閉線圈。小的箭頭則表示電流所產生的磁場B。在二維，這對應于將鐵屑散落在一張紙上所形成的圖樣。磁場在每點都有定義，因此我們應該想象，每一點都有一個小箭頭表示磁場，只不過在圖示時我們只畫出一些作示意。上圖中這個基本的物理現象，用普通的語言來陳述就是，電流產生的磁場方向“環繞”線圈，安培定律則對此給出了一個精確的定量刻畫。

向量場這個概念，比如磁場（或者電流，看作被局限為沿著線圈），是19世紀早期數學物理中一個非常重要的觀念進展。它為描述電、磁、重力等提供了一個統一的框架。這其中有一個重要的概念是，向量場通過某一曲面的通量。數學上，這個定義由曲面積分給出；而直觀上，可以把向量場想象成某個流體在每點的流速，那么通量就是流體流過該曲面的流速。

安培定律的 “積分形式”可表述為：由電流產生的磁場繞一曲面的邊界曲線的環量，等于電流通過該曲面的通量。黑板中心橫穿線圈的小圓盤給出了這樣一個曲面的示意。安培定律的“微分形式”，就是黑板右下方的一組方程：電流在空間坐標x,y,z下的三個分量，可以分別表為磁場在空間坐標x,y,z下的三個分量的導數之組合。

我想用黑板上的內容傳達出，我所認為的數學中的一些非常美妙的方面。左邊是圖片和文字，右邊是一組方程。他們是同一個事物的不同描述，引發不同角度的理解：圖形的和符號的。更進一步，這個圖示代表一個具體的物體——真實世界中的一個帶電流的銅線圈。數學家畫類似的示意圖，但是它可以不僅僅代表一個在三維空間中的一維線圈。通過想象，它也可以代表一個在七維空間中的三維對象，甚至是在無窮維空間中的對象。這種從我們物理直覺到抽象情形的拓展，具有顯著的有效性。在頭腦中，這種直覺的、圖形的、符號的和抽象的交互思維，非常美妙且令人愉悅。

所有這些和拓撲學（一種研究對象在連續形變下保持不變的性質的學科）又有什么關系呢？示意圖中，打結的閉合線圈暗示著這種聯系。一個扭結就是一個封閉線圈，但你無法通過連續形變（即不允許剪開和粘合）把它變為標準的圓圈。這是一種我們憑經驗可以理解、但在數學上不容易講清楚的概念。很容易想見，這樣的扭結可以極其復雜，從而使得拓撲學變得相當微妙。具體來說，存在一種扭結到四維空間的聯系：扭結自身暗含了一種信息，它指明如何按一定的方式將標準四維空間構建粘合成一個新的四維空間。

黑板所示當然更多地側重于思想而非背后精確的數學。它想傳遞的思想是，研究一個扭結閉合電路產生的磁場，是與扭結以及四維空間的拓撲有關聯的。在過去的三十年間，確有許許多多契合這種思想的研究進展，盡管其細節不盡相同。例如，這些發展涉及將電磁場論推廣到“楊－米爾斯場”，以及與量子力學、量子場論建立聯系。這一點用左下角的磁場通過一個小圓盤的通量來示意。（就作者所知）這個量在經典的電磁學中沒有什么意義，但在磁場與電子的“波函數”相互作用的量子理論里是核心。

三維和四維有什么特殊之處呢？這在拓撲學中是個深刻的問題。結果表明，維數大于4的空間在許多方面都更容易理解。我們甚至無需搞清楚問題的具體含義，就可以通過所展示的方程式來體會三維的特殊性。右邊后兩個方程可以由循環重排頭一個方程的三個坐標x,y,z依次得到。這依賴于x,y,z中恰有三個對：(xy),(yz),(zx)。我們可以把電磁學形式地推廣到高維，但這樣磁場就不再是一個向量場，而是一個更復雜的對象。三維的特殊性就在于，磁場和電場同樣都是向量場。四維中有類似的推廣，也是基于四維特殊的拓撲性質。從本質上理解這些，是一個極迷人的問題，而我們目前大概也只是看到了最終真理的一些影子罷了。在這里，我們還從中發現了數學的另一個美妙所在：不同領域之間產生的令人驚訝而神秘的聯系，以及交織在那些看似簡單并充分理解中的完全未知的存在。

（西蒙·唐納森（Simon Donaldson），英國數學家、倫敦帝國學院教授。他是菲爾茲獎得主，并獲得了邵逸夫獎和數學突破獎。他找到了四維流形的系列不變量，進而發現特定的四維流形容許無窮多個微分結構。）

3.牛頓法

撰文 史蒂文·斯梅爾（Stephen Smale )

譯者 崔繼峰（內蒙古工業大學理學院）

校譯 賈挺杰、邵美悅

?上圖中的表達式是牛頓法的一個數學描述。

早在牛頓之前，希臘人就用這一想法來求一個正數的平方根。自牛頓以后，人們常常用它迭代以求出方程f(x)=0的近似解。在我的早期數學生涯中，一個令我非常著迷的問題是：這個迭代法何以如此快速和有效，它的局限性又是什么？

在f是一個多項式的特殊情況下，代數基本定理斷定方程f(x)=0有解。其解x可能是一個實數或者是一個虛數。在19世紀早期，高斯給出了上述定理的的一個基于算法的證明，該算法可以通過多次應用牛頓法來完成（不過他的證明有一處漏洞）。我1981年的文章《代數學基本定理和復雜性理論》（The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory）就是基于牛頓方法，并與高斯的想法有關聯。

復雜度（的計算）理論也許是計算機科學中的中心議題；在該理論中，稱某個問題是可馴服的（tractable），就是說，存在一個能求解此問題的多項式時間算法，這里的多項式時間是指，用比特來衡量的運算數目可以被輸入的數據的數目的一個多項式控制。一方面，我覺得復雜度的觀念很有啟發性；而另一方面，我發現，用這個框架并不能分析牛頓法的復雜度。

在上面提到的文章中，我用算術運算的數目以取代比特運算的數目，來度量牛頓法的復雜度。此外，數值分析中“條件數”的概念，在我對代數學基本定理的算法分析中，發揮了重要作用。在這個新觀點下，我證明了牛頓法是可馴服的。

尋找一個多項式零點的問題，可以自然地推廣到一個多項式方程組的求解問題。在處理這個一般問題時，我與邁克·沙勃（Mike Shub）合作，發表了《貝祖定理的復雜性》（Complexity of Bezout's Theorem）的系列論文。我們的目標是，通過找到一種能在多項式時間內求出近似解的算法，使該問題可馴服。遺憾的是，我們的努力以失敗告終，直到今天，它仍然是一個重要的公開問題。然而，彼得·比爾吉斯爾（Peter Burgisser）和菲利普·卡克（Felipe Cucker）最近發表于《數學年刊》（Annals of Mathematics）的文章，已經很接近該問題的解（注釋1）。研究中，他們借鑒了卡洛斯·貝爾特蘭（Carlos Beltran）和路易斯·帕爾多（Luis Pardo）的研究思路，同時，牛頓法在他們的工作中無疑發揮了重要作用。

蘭諾·布萊姆（Lenore Blum）加入了我和邁克·沙勃的團隊，我們一起將計算機科學的圖靈機一般化，給予求零點研究以基本支持。我們的三人項目的相關實數算法已根植于多項式時間，NP-完全性，可馴服性的環境，這一切非常有意義。最終，菲利普·卡克與我們合作撰寫了著作《復雜性與實計算》（Complexity and Real Computation）。對此，一個參考文獻是我的論文集第3卷（共650頁）。

約翰·濟慈（John Keats）寫道，“美即真，真即美……”他還寫道“美的東西永遠是賞心悅目的。”我在此補充一點，美是簡潔和深刻的。我希望，我的片言只語會使你相信，牛頓法是大美的體現。

（史蒂文·斯梅爾（Stephen Smale )，美國數學家，菲爾茲獎和沃爾夫獎得主。他成功解決了微分拓撲學中的高維龐加萊猜想，并創立了現代微分動力系統理論。

1.譯者注：這個問題是斯梅爾1998年提出的18個問題（Smale's problems，見維基百科）中的一個，在2016年已經解決（而不是像前面說的“未解決”），見Lairez, Pierre , A deterministic algorithm to compute approximate roots of polynomial systems in polynomial average time, Found Comput Math (2016)，1-28.）

4.P=NP？

撰文 理查德·卡普（Richard M.Karp）

翻譯 龍旸靖（上海交通大學數學科學學院）

?計算復雜度理論是理論計算機科學的一個分支，它主要關心機器計算效率的極限。計算復雜度理論主要研究需要大量的計算步驟來求解的問題。這些問題的輸入和輸出取自有限字母表中的字符串；輸入的長度不受限制。研究一個計算問題的核心是將其所需的計算步驟表達為以輸入的長度為自變量的函數。

有些計算問題的步數的增長速度非常快。以獨立集問題為例。該問題中圖是由一些點和線構成的對象，其中點稱之為頂點，線稱之為邊。對于一個給定的圖，如果某個由其部分頂點構成的集合中不存在有邊相連的兩個頂點，我們稱這個頂點集是獨立的。獨立集問題即給定一個圖和一個正整數n，判定這個圖是否包含大小為n的獨立集。所有已知的解決獨立集問題的算法都有“組合爆炸”現象，即所需要的計算步數以圖的大小的指數級函數增長。另一方面，給定的頂點集是否是給定圖的獨立集卻很容易檢查。有很多問題都有這樣的二分性：即很難判定一個給定結構類型是否存在（存在性問題），卻很容易判定給定的結構是否為所求的類型（驗證性問題）。

解決存在性問題比解決其對應的驗證性問題困難是一個共識。例如，似乎很難決定一個拼圖是否可解。但是給定拼圖塊的順序，很容易驗證其是否為一解。同樣，數獨問題似乎很難解，但是很容易驗證給定的解。計算復雜度理論中給出了P和NP的精確定義：P問題是容易解決的存在性問題類，而NP問題 是容易驗證解的存在性問題類。人們一般認為驗證解比給出解要容易，因此似乎NP類真包含P類。但是這個論斷還沒有證明。P=NP是否成立是理論計算機領域核心的未解決問題（注釋2），并且是所有數學分支中最難的問題之一（注釋3），因其難解而聞名于世。

1972年我在一篇題為“組合問題之間的互約性”的文章中提出了一種數學技術，用它能證明成千上萬個從數學、科學、工程、商業和日常生活中產生的計算問題是等價的。這里等價是指其中一個問題的有效的算法能生成其他所有NP問題的有效算法，因此如果P=NP，則問題完全解決，相反，如果P不等于NP，那么這些問題都不容易解決。這類問題被稱為NP完全問題。NP完全是一個廣泛發生的現象，大多數應用中產生的組合問題屬于NP完全類，因此，它們極有可能很難解決。

我提出的這一數學技術源于多倫多大學的庫克（Stephen Cook）在1971年的一篇文章，這篇文章中證明了一個特定的問題，即命題邏輯中的限制性滿足問題（記為Sat）是NP完全的。他證明了任何NP類中的問題可以有效規約到Sat，即對于任意NP問題A，存在一個有效算法可以把A中的任何實例轉化成一個Sat中等價的實例。因此，如果Sat容易解決，則每一個NP問題都容易解決。差不多同時，當時在蘇聯，現在是波士頓大學教授的萊文 （Leonid Levin）也證明了一個類似的結果。

在一篇1972年的文章中，我用有效規約樹來證明21個經典問題是NP完全的，從而證實了NP完全問題的普遍存在。主題圖通過規約樹展示了其中的13個問題之間的規約。規約樹的每一個的節點上標記一個NP問題，每一條邊表明上面的問題可以有效規約到下面的問題，要是下面的問題容易解決，則上面的問題也容易。如果這棵樹上的所有問題都是容易解決的，那么Sat問題就是容易解決的，因此，由庫克的開創性結果可知，任何NP類中的問題都是容易解決的。

復雜度理論學家中比較盛行（并非全體接受）的看法是，P不等于NP，但是目前還沒有證明或者反證。也許某些聰明的年輕人受這篇論文的啟發，會找到攻克N和NP難題的辦法。

數學之美存在于多個層面：在對稱而精妙的數學曲線中、在曲面和組合結構中，也在邏輯微妙的數學證明中，抑或，如NP完全一例中，發現隱藏在看似無關的數學現象背后的單一準則，也美妙非凡。

（理查德·卡普（Richard M.Karp），計算機科學家，圖靈獎得主，加利福尼亞大學伯克利分校教授。他在算法方面有許多貢獻，尤其是“NP-完全”問題。

2.原文為open question,在數學上也譯為“公開問題”或者“開放問題”。有公開征集解的含義。

3.理論計算機領域被認為是數學領域的一個分支。）

5.守恒律

撰文 拉克斯（Peter Lax）

翻譯 龍旸靖（上海交通大學數學科學學院）

校譯 劉云朋

?守恒律是指某物理量(如質量、動量、能量等)在任何區域中的總量的增長率都等于單位時間內從該區域的邊界流入的或者產生的這種物理量的多少。這個思想因其基本而美。一旦將其細節具體化，就會得到很多不同的現象。支配流體的流的定律就是守恒律。

守恒律是理解沖擊波的關鍵。我于1945年在部隊的時候開始接觸沖擊波。當時我被派去Los Alamos參與（美國）原子彈計劃，而沒有去太平洋參與入侵日本，因為原子彈免去了入侵日本的必要。原子彈不能通過試錯的辦法來制造，所以算出炸彈引爆時產生的流極其重要。馮·諾依曼（Von Neumann）意識到這種計算非依賴計算機不可，這是他支持計算機的最初動力。當然他也意識到計算機在設計原子武器外的其他方面的重要性。

馮·諾依曼在數值計算中把沖擊波看作流體的一部分，而非其邊界，這是一個美妙而原創的想法。這樣處理帶有沖擊波的流既有力又簡單。許多人不知道，馮·諾依曼不僅僅是20世紀的理論數學家，而且是一位頂尖的應用數學家。

（彼得·拉克斯（Peter Lax），匈牙利裔美國數學家，阿貝爾獎得主，在可積系統、流體動力學和激波、孤波物理學、雙曲守恒律等領域都取得了重大成就。）

6.十三？

撰文 大衛·芒福德（注釋4）（David Mumford）

翻譯 陳見柯（中國傳媒大學）

校譯 林開亮

數學家們一大部分的工作是在研究那些經推理而得的“對象”，使其變得像我們日常生活一樣真實，雖然它們遠非實物一樣地存在。柏拉圖（注釋5）正多面體在高維情形的推廣是相對簡單的例子。人們希望能在高迪（注釋6）主持修建的圣家族大教堂（注釋7）的某個尖頂上放置正二十面體，這的確是可真實觸碰的對象。但數學家們一致認為，空間的維數可以超過3，19世紀數學家施萊夫利（注釋8）發現了柏拉圖多面體在四維情形下的推廣。對此，我們只能想象。記Mg是虧格g的光滑射影曲線的模空間，很長時間里，我的一直關注于如何很好地理解其結構。在我的學生時代，即便以數學家所謂清晰的標準來看，這類空間似乎依舊籠罩在煙霧之中，它們是一種介于成熟數學和幻象之間的存在。我一度努力改變這種狀況。

與此同時，亞歷山大·格羅滕迪克（注釋9）橫空出世。他有著前人從未具有的高度抽象的思維能力，并對人們尚未理解的具體問題予以啟發。事實證明，他深刻的結果可以應用于長期困擾我的空間結構問題。而那時的我卻不知該如何利用。這些結果的強大之處在20年后才變得明顯起來：通過與喬·哈里斯（注釋10）合作，我們終于能夠將Mg看作真實的對象（借助標準術語，它是一個擬射影代數簇）。

?這個公式意味著什么？它優美在何處？它表明：兩個對象（“線叢”）本質相同（“同構”）。等式左邊的對象決定Mg的幾何。追溯至高斯（注釋11），人們就已經知道空間可大致分為三種：像平面一樣的平坦空間；像球面一樣的正曲率空間；以及像馬鞍面一樣的負曲率空間（曲面上三角形內角和小于180°）。等式左邊決定了Mg在上述三分法中的位置；博特（注釋12）將等式右邊稱為“重言”結構：完全由Mg決定的基本對象。上述同構表明，在g充分大的條件下，Mg是負曲率空間。

上述公式最讓人驚訝的地方是數字13。翻閱數學雜志，你會發現，除頁碼外，論文中一般不會出現大于2的數字。此處出現的13是計數得出的，計數問題有悠久的歷史，另一個著名的例子，是一個三次曲面上恰好有27條直線（包括復直線）。就此而言，我始終覺得造物主在跟我們開玩笑。

（4 大衛·芒福德，David Mumford，1937年——，美國數學家。

5 柏拉圖，Plato，約公元前427年——公元前347年，古希臘哲學家。

6 安東尼·高迪，Antoni Gaudí，1852年——1926年，西班牙建筑師。

7 圣家族大教堂（加泰羅尼亞語：Basílica i Temple Expiatori de la Sagrada Família），又譯作神圣家族大教堂，簡稱圣家堂（Sagrada Família），是位于西班牙加泰羅尼亞巴塞羅那的一座羅馬天主教大型教堂，始建后由西班牙建筑師安東尼·高迪接手設計與建設。

8 路德維希·施萊夫利，Ludwig Schläfli，1814年——1895年，瑞士數學家。

9 亞歷山大·格羅滕迪克，Alexander Grothendieck，1928年——2014年，法國數學家。

10 喬·哈里斯：Joe Harris，1951年—— ，美國數學家。

11 卡爾·弗里德里希·高斯：Carl Friedrich Gauss，1777年——1855年，德國數學家。

12 拉烏爾·博特：Raoul Bott，1923年——2005年，匈牙利裔美國數學家。）

7.Ree群公式

撰文 邦別里（注釋13）（Enrico Bombieri）

翻譯 林開亮（西北農林科技大學理學院）

?數學中存在美嗎？這個問題關心的是數學對象及其關系，可被驗證的證明即真正的數學對象。數學家通常會贊同，在定理和證明的結構之中的確存在著美，即便大多數時候這種美只有數學家自己才能看得到。

群的概念漂亮地表達了數學中的對稱。群是什么？考慮任意一個對象，不論它是具體的還是抽象的。該對象的一個對稱——數學的行話叫自同構——就是該對象到自身的一個保持它的所有性質的映射。兩個對稱的乘積，即兩個映射的復合，仍然是一個對稱，而且每個對稱都有一個倒過來的逆。數學家認為連續的Lie群——譬如圓周或球面的旋轉群——是很大一部分數學和物理的漂亮基礎。除了連續的Lie群，還有不連續的有限群和離散群；有一些是通過將Lie群約化到一個有限或離散的框架下得到的。

群可以極其復雜。給定一個群，也許會出現這樣的情況，存在從該群到另一個群的一個保持乘積結構的映射。一個群稱為單群，如果這樣一個映射的像要么是該群的一個復本要么是只有一個元素（恒同映射）的平凡群。單群是構建所有群的基本積木，因此在研究任意群時，知道所有的單群非常重要。對稱的一般有限群首次出現在伽羅瓦（Évariste Galois）關于代數方程的工作中。伽羅瓦在18歲時就證明了五次一般代數方程不可通過代數操作求解，其論證要點是，作用在5個字母a,b,c,d,e上的偶置換（即由偶數個對換相乘得到的置換）群A5是單群。這個群是最小的非交換的單群，同時也是正二十面體的對稱群。正二十面體是一個非常漂亮的幾何對象！可以想見，單群可以描述為一些特殊幾何對象的對稱群。然而，研究一個抽象化、假設出的單群，其困難恰恰包含了從其內蘊性質構造出一個豐富的幾何對象。迄今為止，羅列出所有有限單群的分類定理的完全證明占據3000多頁篇幅，匯聚了一百多位數學家近四十年的努力。

源自Lie群的有限單群系列很容易就發現了，只有三個例外。這些系列不是來自實數或復數，而是來自特征為p的有限域，這里p是一個素數。在特征為p的有限域里，仍然可以做普通的算術，不過，一個數用p去乘總是得到0。一切都很順利，即便可能沒那么容易，除了數學家Ree的發現——特征2下的Lie群B2和F4和特征3下的G2也存在額外的對稱，它們可以得到新的單群系列，今天我們稱之為twisted Ree 群——留下的問題：twisted B2群及其唯一性之前由鈴木（Suzuki）通過完全不同的方法得到，F4情形的唯一性也得到了，但G2情形則難以捉摸。

經過湯普森（Thompson）的艱苦努力，G2的唯一性問題歸結為，證明特征為3的有限域上的某個滿足一組極其復雜的多元方程組的變換σ，具有性質其平方σ2作用于x如同x3，換言之σ2=3。不幸的是，消元法的普通代數操作很快就會給出項數是如此之多的等式，以至于全世界所有的計算機合在一起都無法存儲下來。怎么辦？早在1973年，湯普森就引發了我對這個問題的興趣，但我迷失在公式的迷宮里。1979年，當有限單群的分類工作達到高潮時，我再一次考察了湯普森等式。我自問：是否有必要寫下這些“不可能”的公式，也許有辦法可以繞開。利用一個奇妙的技巧，可以發現，通過消元能夠提取到一點點有用的額外信息，再度利用那一技巧重新消元并結合新的信息，額外的信息可以精細化。重復這個精細化過程三次，就得到了所需要的等式σ2=3，除了極少數情形需要用計算機驗證。因此，唯一性的問題解決了，另一項技巧也添加到有限單群分類的證明中。（注釋14）

這個等式是用白色粉筆寫在暗藍灰色的黑板上，左邊是湯普森等式，雙箭頭指向σ2=3，意指左邊的等式蘊含了twisted Ree群的唯一性。問題很漂亮，而所期待的解答也很簡單，因而優美，湯普森等式具有內在隱秘的美，因為它反映了一個群的性質。對專家來說，避開蠻力而得到的解答也具有其自身的美。事實上，數學家在追尋其真理時——有時是自動地——以尋求美為向導。正如詩人濟慈（Keats）所說，美即真，真即美。

（13 謝謝Sarah Jones Nelson。

11 Bombieri, Enrico. "Thompson's Problem (σ2=3).." Inventiones mathematicae 58 (1980): 77-100.）

8.MacDonald 等式

撰文 戴森（Freeman Dyson）

翻譯 林開亮（西北農林科技大學理學院）

?麥克當納（MacDonald）等式是我最美妙的發現。它屬于數論，這是數學中最無用和最古老的分支。我的朋友麥克當納（Ian MacDonald）享受了第一個發現它的快樂，而我作為第二個發現者享有幾乎同等程度的快樂。我們的女兒在同一班上小學，因此我們談論我們的女兒而不談數學。我們發現了τ函數滿足的一個方程，τ函數是32歲英年早逝的印度天才數學家拉馬努金（Srinivassa Ramanujan）最后四年里探究的課題。這里我寫下τ函數的麥克當納等式。

麥克當納等式具有神奇的五重對稱性，這一點逃過了拉馬努金的法眼。在等式的右邊，有十個乘在一起的差，此即五重對稱性。我們要感激拉馬努金，不僅感激他所發現的許多美妙的東西，還有他留給后人發現的其它美妙的東西。

為解釋麥克當納等式的意義，我們來查考一下最簡單的三種情況，n=1,2,3求和取遍所有滿足條件a+b+c+d+e= 0且a2+b2+c2+d2+e2=10n的整數a,b,c,d,e。而“(mod5)”的條件意味著，a是被5除余1的數，b是被5除余2的數，c是被5除余3數，d是被5除余4的數，e是被5除余0（整除）的數。而等式中的驚嘆號含義是1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,4!=1×2×3×4=24。因此，當n=1時，a,b,c,d,e只有唯一取值1,2,-2,-1,0，根據MacDonald等式，我們得到τ(1)=1。當n=2時，a,b,c,d,e只有唯一取值1,-3,3,-1,0，我們得到τ(1)=-24。當n=3時，a,b,c,d,e有兩種取值1,-3,-2,4,0和-4,2,3,-1,0，我們得到τ(3)=252。容易驗證，τ(n)的這三個值與Ramanujan等式給出的值一致。

麥克當納等式是麥克當納發現的存在于兩種對稱之間的更深刻聯系的一個特殊情況。這兩種對稱我們分別稱為模對稱與仿射對稱，它們最初在科學的不同部分被發現，模對稱來自數學，仿射對稱來自物理。每個人都可以通過欣賞藝術埃舍爾（Mauritz Escher）畫中飛翔的天使與魔鬼而看到模對稱的展示。埃舍爾懂得數學，準確掌握了細節。仿射對稱則體現于物理學家用高能加速器創造的粒子的稀有組合中。數學家朗蘭茲（Robert Langlands）第一個猜測出這些對稱與其它類型的對稱之間的聯系。麥克當納在實現朗蘭茲的夢想方向上邁出了一大步。我在這里所寫下的等式僅僅是麥克當納那一大步留下的一點印記。

9.電弱理論的拉格朗日密度

撰文 溫伯格（Steven Weinberg）

翻譯 劉云朋（天津大學理學院）

校譯 林開亮

?這是方程的原始版本，后來成了自然界兩種基本的力——電磁力與弱核力——的標準理論。弱核力盡管不像電磁力那么常見，卻產生一種重要的放射性（β衰變）以及核反應鏈的第一步（太陽和其它恒星賴此發熱）。我在這方面的第一篇論文發表于1967年，其中的(4)式就是這個方程。它在那幾年是基本粒子物理領域發表的論文中引用最多的，也許現在仍然如此。

電弱理論是一種場論，它的基本成分是場，其中也包括電場和磁場。方程左側的L由場及場的變化率組合而成，稱為此理論的拉格朗日密度。拉格朗日密度是像能量密度那樣的東西，根據物理學家從二十世紀三十年代就開始使用的規則，理論中各種場所遵循的方程都方便地蘊含在拉格朗日密度之中。

方程右邊的大部分符號是理論中的各種場。弱力和電磁力由和傳遞，電場和磁場是和的組合。中微子和左手電子場（該場描述的電子，其自旋對運動方向的環繞與左手四指彎曲時對拇指的環繞方向一致）合在一起用L表示。右手的電子場用R表示。g 和 g’是數值常數，與電子的荷有關，其值只能從實驗得到。

符號φ 表示某四分量的場，它與其它場相互作用，從而賦予電子質量而使中微子仍無質量，賦予傳遞弱相互作用的三種粒子質量而使光子（光的粒子）仍無質量。余下的常數Ge、M12、h 與電子的質量、弱力的強度有關。φ 場的四分量之一對應某種新的粒子，到2012年實驗上才見到它的蹤影。方程的第三、四行描述了理論中中微子和左手電子之間、弱力和電磁力之間的對稱性破缺機制。

這個方程可能看似不大美，它美在渾然天成——給定成分后，其結構可由數學的自洽條件很好地確定下來。略去一行，甚或只把一個負號改成正號，都會讓整體不再自洽。

方程從簡，略去了繆子（一種像電子而更重的粒子）和相應的中微子。顯然，可以類比電子及其中微子把它們包含進來。

1971年，此理論進而把夸克（構成質子和中子的基本粒子）也包含進來，之后不斷得到實驗的驗證。

10.嚴格保持的色 SU3 對稱群

撰文 蓋爾曼（Murray Gell-Mann）

翻譯 劉云朋（天津大學理學院）

校譯 林開亮

?1932年發現中子，人們開始認識到原子核由中子和質子構成。再向它們內部看去，可以發現每個中子和質子都由三個夸克構成——粗略地說，每種“色”一個。正是色力把夸克束縛在一起，形成中子和質子。作為變量，色有三個不同的取值，俗稱“紅”、“綠”、“藍”。帶“色”的物質受到禁閉，無法彼此脫離而單獨探測。在三種色互相轉換的色SU3 變換群下，物理理論完美地對稱。

這里的表達式給出“量子色動力學(QCD)”的拉格朗日密度，它用數學表達式概括了強相互作用的動力學。強相互作用同引力、弱力、電磁力一樣，都是自然界中基本的力。此表達式美在寓真實于其中。它還美在簡潔，不過是做了一點清理之后的簡潔。這里有三項，前兩項Lgt、Lq 分別包含膠子、夸克的貢獻（場），Laddl 包含“附加”項，其中部分的場最終預言了近期才發現的希格斯玻色子。

追憶往昔，我與諸同事獲得這個公式，并非靈光乍現，而是厚積薄發。這公式不僅總結了大自然的一個真理，還凝聚著日積月累的大量艱苦工作。它的每一項都薈萃了數年研究發現的精華。隨著時間推移，我和其他人清楚了要把哪些項包含其中。（我想補充一點，我們在以有點與眾不同的方式考慮強相互作用。）我們本可以在中間任何一步停下來，把更多的東西丟給“附加”項，但這個公式感覺很好，它很完整，滿足SU3 群所要求的對稱性條件。這條件也讓我們無法涉足當時尚未完全探索的領域。所以，它盡管真實，在某種意義下卻并非終極真理，總有更多的細節可以補充進去——除了希格斯，還有多種標量場，我們知道其存在，卻不清楚如何正確描述——從而有更多的東西尚待發現，這也是一種美。

本文譯自：

http://www.concinnitasproject.org/portfolio/

本文原載《中國數學會通訊》2017年第1期。