復數最直觀的理解就是旋轉！

4*i*i = -4

就是“4”在數軸上旋轉了 180 度。

那么 4*i 就是旋轉了 90 度。

另外，e^t 是什么樣呢？

?但當你在指數上加上 i 之后呢？

?變成了一個螺旋線。是不是和電磁場很像？（想拿歐拉公式去跟女生炫學術的男生注意了：她們，真的，不 CARE） 當然，更重要的意義在于復數運算保留了二維信息。 假如我讓你計算 3+5，雖然你可以輕松的計算出 8，但是如果讓你分解 8 你會有無數種分解的方法，3 和 5 原始在各自維度上的信息被覆蓋了。 但是計算 3+5i 的話，你依然可以分解出實部和虛部，就像上圖那樣。 基于以上兩個理由，用復數來描述電場與磁場簡直完美到爆棚！ 我們即可以讓電場強度與復數磁場強度相加而不損失各自的信息，又滿足了電場與磁場 90 度垂直的要求。另外，一旦我們需要讓任何一個場旋轉 90 度，只要乘一個“i”就可以了

?補充一點： 正弦波在頻域可以看作是自然數中的“1”，可以構成其他數字的基礎元素。當你需要 5 的時候，你可以看成是 1*5（基礎元素的五倍）也看以看成 2+3（一個基礎元素 2 倍與基礎元素 3 倍的和）。這些用基礎元素構成新元素的運算是線性運算。 但是現在你如何用線性運算吧 2sin（wt）變換成 4sin（wt+pi/6）呢？ 利用歐拉公式，我們可以將任何一個正弦波看作其在實軸上的投影。假如兩個不同的正弦波，可以用數學表達為：

?好了，現在如果我想用第一個正弦波利用線性變換為第二個，我們就只需要將 A 乘對應的系數使其放大至 B（本例為乘 2），然后將θ1 加上一定的角度使其變為θ2（本例為加 30 度），然后將得到的第二個虛數重新投影回實軸，就完成了在實數中完全無法做到的變換。

這種利用復指數來計算正弦波的方法也對電磁波極其適用，因為電磁波都是正弦波，當我們需要一個電磁波在時間上延遲 / 提前，或是在空間上前移 / 后移，只需要乘一個復指數就可以完成對相位的調整了。

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作者：Heinrich